Magyar oldal English site

Oldaltérkép
2018-01-21 23:55:41 (Eredeti megjelenés dátuma: ~2017-01-01)

10. Vektorok

Szimmetriák

$ \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\v}[1]{\mathbf{#1}} $ Korábban már írtam valami olyasmit, hogy a természetet nem érdekli az, hogy hova tesszük az origót, illetve, hogy hogy miként választjuk meg a három fő irányt. Most ebben a részben ezt vizsgáljuk majd meg alaposabban.

Természetben szimmetriának nevezzük azt a dolgot, amikor egy dolog valamilyen tulajdonsága változatlan marad egy művelet elvégzése után. Pl. ha a szimmetrikus alakzatokat tükrözzük, akkor meg fognak egyezni az eredeti alakzattal. Vagy másféle szimmetria is létezik, pl. forgatási szimmetria, amikor egy alakzatot bizonyos szöggel elforgatva visszatér az eredeti helyzetbe.

Szimmetriák

A pillangó a középvonalára tükrözve ugyanaz marad. A jobboldali ábrát pedig a 60 fokos elforgatás viszi vissza önmagába. (forrás, forrás)

A fizikában két fontos szimmetria van, amiről már korábban beszéltem. Egyik az, hogy a fizika törvényei ugyanazok akkor is, hogyha eltoljuk a rendszert. A másik pedig az, hogy a fizika törvényei változatlanok, hogyha a rendszert elforgatjuk. Egy digitális óra ugyanúgy ketyeg, hogyha magunkkal visszük, és ezt teszi minden helyzetben.

Eltolások

Először is lássuk be matematikailag, hogy az eltolás valóban nem változtatja meg a fizika törvényeit. Vegyük pl. Newton 2. törvényét, az erő és a gyorsulás összefüggését: $\v F = m \v a$.

Most kivételesen szedjük szét a vektorokat és írjuk fel elemenként:

$$ F_1 = m a_1 = m \frac{\d^2 x_1}{\d t^2} \\ F_2 = m a_2 = m \frac{\d^2 x_2}{\d t^2} \\ F_3 = m a_3 = m \frac{\d^2 x_3}{\d t^2} \\ $$

Az $x_1$, $x_2$ és $x_3$-at, a helyet leíró koordinátákat, valamilyen koordináta-rendszerben kell értelmeznünk. Ennek a koordináta-rendszernek van valahol egy origója, és adottak valamilyen tengelyei. Az origó és tengelyek nélkül a koordinátáknak semmi értelmük sincsen. Legyenek ezek a koordináták mondjuk egy képzeletbeli személy, Aladár, koordinátái.

Tegyük fel, hogy van egy másik megfigyelő, akinek az origója máshol van. Nevezzük őt Bélának. Ezt azt jelenti, hogy a pozíciók koordinátái el vannak tolva egy valamilyen értékkel. Ezt azt jelenti, hogy a koordinátákhoz hozzáadogatunk egy számot, így megkapjuk, hogy Béla koordinátái egy adott értékkel el vannak tolva a miénkhez képest. Jelöljük ennek a másik megfigyelőnek a koordinátáit egy aposztróffal:

$$ x'_1 = x_1 + k_1 \\ x'_2 = x_2 + k_2 \\ x'_3 = x_3 + k_3 $$

Eltolás

Ugyanaz a pont egy eltolt koordináta-rendszerben eltolt koordinátákkal jelenik meg.

Tehát az pl. azt jelenti, hogyha a $k_1$, $k_2$, $k_3$-at mondjuk 1, 2, 3-nak választjuk meg, akkor Aladár origója, a (0,0,0) pozíció, Béla koordináta-rendszerében az (1, 2, 3) pozíción lesz. A (2, 4, 7) pedig a (3, 6, 10) pozíción, és így tovább.

Na most Béla is felírhatja a fizikai törvényeket a saját koordinátáival:

$$ F'_1 = m a'_1 = m \frac{\d^2 x'_1}{\d t^2} \\ F'_2 = m a'_2 = m \frac{\d^2 x'_2}{\d t^2} \\ F'_3 = m a'_3 = m \frac{\d^2 x'_3}{\d t^2} \\ $$

Kérdés: Igazak-e ezek az ő koordináta-rendszerében leírt törvények, hogyha feltételezzük, hogy az Aladár törvényei igazak? Ennek a módja az, hogy belátjuk, hogy az ő törvényei a miénkkel ekvivalensek.

Vegyük az első egyenletet, és helyettesítsünk be!

$$ F'_1 = m a'_1 = m \frac{\d^2 \left( x_1 + k_1 \right)}{\d t^2} \\ $$

Micsoda a $\d^2 \left( x_1 + k_1 \right)$?

Emlékezzünk vissza a differenciálás azonosságaiból, és alkalmazzuk őket:

$$ \d^2 \left( x_1 + k_1 \right) = \d \d \left( x_1 + k_1 \right) $$

Alkalmazzuk az összegek differenciáljára való összefüggést:

$$ \d \d \left( x_1 + k_1 \right) = \d \left( \d x_1 + \d k_1 \right) $$

Mondjuk, hogy a $k_1$ nem változik az idők során, tehát a másik megfigyelő origója nem mászik el az idők során, ekkor a $k_1$ konstans. A differenciálja a konstansnak pedig nulla, hiszen az nem változhat meg, így:

$$ \d \left( \d x_1 + \d k_1 \right) = \d \d x_1 = \d^2 x_1 $$

Ezt visszahelyettesítve:

$$ F'_1 = m \frac{\d^2 x_1}{\d t^2} = F_1 \\ $$

Nagyon szimplán visszakapjuk Aladár törvényeit. Ugyanezt egyszerűen el lehet végezni a többi egyenlettel is. Az $x'_2$-vel és az $x'_3$-mal is. Ugyanaz az erő, ugyanaz a fizikai jelenség is. Ebben a másik eltolt koordináta-rendszerben is. Ha pedig az erők teljesen ugyanazok, akkor fizikai folyamatok is teljesen ugyanazok lesznek.

Forgatások

Most nézzünk meg egy másik esetet. Ez esetben Béla origója ugyanott van, mint a miénk, viszont az ő koordináta-rendszere el van forgatva. A forgatást a következőképpen lehet kifejezni matematikailag:

$$ x_1' = M_{11} x_1 + M_{12} x_2 + M_{13} x_3 \\ x_2' = M_{21} x_1 + M_{22} x_2 + M_{23} x_3 \\ x_3' = M_{31} x_1 + M_{32} x_2 + M_{33} x_3 \\ $$

Forgatás

Elforgatott koordináta-rendszerben ugyanannak pontnak a koordinátái a másik irányba fordulnak el. Itt most könnyebb ábrázolás kedvéért csak 2 dimenzióban.

Az $M$-eket pedig úgy választjuk meg, hogy forgatás legyen. Most igazából lényegtelen, hogy hogyan. 1 Tetszőleges M-ek sokkal általánosabbak, mint a forgatás, ugyanis abban benne van a nagyítás, forgatás, és egyéb nyíró transzformációk. Ha az M tetszőleges lehet, akkor azt mondjuk az egy lineáris transzformáció. Ezekben a transzformációkban a koordinátatengelyek egyenesek. Amikor tetszőleges koordináta-rendszerekről beszélünk ebben a részben, akkor ilyen lineárisan transzformált koordinátákról van szó.

Na most akkor ebben az elforgatott koordináta-rendszerben is felírjuk a fizikai erőtörvényt mondjuk az első komponensre:

$$ F_1' = m \frac{\d^2 x_1'}{\d t^2} $$

Először is deriváljuk az $x_1'$-et az idő szerint:

$$ \frac{\d x_1'}{\d t} = M_{11} \frac{\d x_1}{\d t} + M_{12} \frac{\d x_2}{\d t} + M_{13} \frac{\d x_3}{\d t} \\ $$

Majd még egyszer:

$$ \frac{\d^2 x_1'}{\d t^2} = M_{11} \frac{\d^2 x_1}{\d t^2} + M_{12} \frac{\d^2 x_2}{\d t^2} + M_{13} \frac{\d^2 x_3}{\d t^2} \\ $$

Tömeggel szorzunk:

$$ m \frac{\d^2 x_1'}{\d t^2} = m M_{11} \frac{\d^2 x_1}{\d t^2} + m M_{12} \frac{\d^2 x_2}{\d t^2} + m M_{13} \frac{\d^2 x_3}{\d t^2} \\ $$

Behelyettesítjük az elforgatás nélküli erőtörvényeket:

$$ F_1' = M_{11} F_1 + M_{12} F_2 + M_{13} F_3 \\ $$

És ugyanez kijönne mind a 3 komponensre is. Azaz ez azt jelenti, hogy az elforgatott koordináta-rendszerben, az erő koordinátái is egyszerűen el van forgatva, nem csak a pontok koordinátái. Tehát elforgatott koordináta-rendszerben mások a koordináták, de a vektormennyiségek maguk nem változnak, ugyanazt fejezzük ki csak más számokkal.

Ez érhető is, mert ha balra billentjük a fejünket, akkor úgy látjuk, mint az egész világ jobbra fordult volna és a gravitáció a lefelé helyett balra húz. De ettől függetlenül ugyanarról az erőről van szó.

Vektorok műveletei

Mit tudunk eddig a vektorokról? Van nekik nagyságuk meg irányuk. És az a három koordináta, amivel leírjuk őket, csak egy módja, hogy kifejezzük őket. Viszont, ahogy előbb láttuk ez a 3 koordináta függ attól, hogy mik a koordináta-tengelyek. Így ahhoz, hogy tudjunk vektorokkal számolni, egy olyan módszerre lenne szükségünk, amely garantálja, hogy minden koordináta-rendszerben ugyanúgy működik a dolog, és ugyanúgy működik a számolás.

Mivel vektoroknak van nagysága és iránya, ezért nyíllal szokás ábrázolni őket. A nyíl iránya adja meg a vektor irányát, a hossza pedig a nagyságát. A továbbiakban egyes vektorműveleteket megnézzük majd nyilakkal és koordinátákkal is egyaránt.

Egyelőre kétféle mennyiségről tudunk. Az egyik a skalár, aminek nincs iránya, ilyen az idő, az energia, a tömeg, stb. Ez csak egyetlen egy számmal kifejezhető dolog. Ezek a számok olyan dolgok, amelyek nem függenek a koordináta-rendszer megválasztásától egyáltalán. A vektoroknak pedig van iránya is, azoknak a koordinátái függenek a koordináta-rendszer megválasztásától. De úgy az egész általában független dolog a koordináta-rendszertől.

Akkor most nézzük meg a fontosabb vektorműveleteket, nyilakkal és koordinátákkal is.

Vektorok összeadása

Vektorok összeadását geometriailag úgy lehet elképzelni, hogy adott 2 nyíl, azonos pontból indítva. És úgy lehet őket összeadni, hogy az egyik nyilat a másik hegyéhez toljuk, és ahová a vége mutat ott lesz az összegként adódó nyíl vége. Vagy képpel valahogy így néz ki a dolog:

Vektorok összeadása

2 vektort úgy adunk össze, hogy az egyiket a másik hegyéhez toljuk, az eredmény vektor az így kapott vektor hegyénél lesz. A kapott alakzat pedig egy parallelogramma.

Látható, hogy ugyanaz a vektor kijön kétféleképpen is. Mindegy, hogy az $\v u$-t toldjuk-e meg a $\v v$-vel vagy fordítva. Az összeadás sorrendje mindegy. $\v u + \v v = \v v + \v u$. Azaz a vektorok összeadása kommutatív.

A másik tulajdonság pedig az asszociativitás, azaz mindegy, hogy hogyan csoportosítjuk a műveleteket az összeadás során: $\v u + \left( \v v + \v w \right) = \left( \v u + \v v \right) + \v w$. Úgy ahogy az alábbi ábrán is látszik, három vektort összeadunk az összes lehetséges módon, ugyanaz lesz az eredmény:

Vektor összeadás asszociativitása

Teljesen mindegy, hogy hogyan csoportosítjuk a vektorok összeadását. Az eredmény ugyanaz, akkor is, hogyha először az $\v u$-t és az $\v v$-t adjuk össze aztán $\v w$-t. Vagy először a $\v v$-t és $\v w$-t adjuk össze és ezt adjuk az $\v u$-hoz.

Koordinátákkal pedig a következő legyen a dolog. Van a két vektorunk ugye $\v u$ és $\v v$. Az $\v u$ koordinátái $u_1$, $u_2$, $u_3$. A $\v v$ koordinátái $v_1$, $v_2$, $v_3$. Korábban már mondtuk, hogyha vektorokkal végzünk műveletet, akkor azt a műveletet az összes tagján végezzük. Tehát az $\v u + \v v$ koordinátái rendre $u_1 + v_1$, $u_2 + v_2$, $u_3 + v_3$ kell, hogy legyen. (Házi feladat: próbáld ki egy kockás lapon 2 koordinátával, hogy valóban így működik-e a dolog!)

De vajon ez a dolog, ugyanígy működik más koordináta-rendszerben is? Tehát vigyük át a vektor koordinátáit másik koordináta-rendszerbe, ahogy a forgatásnál néztük, így a koordináták a másik rendszerben legyenek ezek:

$$ u_1' = A u_1 + B u_2 + C u_3 \\ u_2' = D u_1 + E u_2 + F u_3 \\ u_3' = G u_1 + H u_2 + I u_3 \\ $$

A $\v v$ esetén pedig:

$$ v_1' = A v_1 + B v_2 + C v_3 \\ v_2' = D v_1 + E v_2 + F v_3 \\ v_3' = G v_1 + H v_2 + I v_3 \\ $$

Az $A$-tól $I$-ig terjedő betűk tetszőleges számok lehetnek.

Na most adjuk össze a vektorokat ezekkel az aposztrófos koordinátákkal:

$$ u_1' + v_1' = A u_1 + B u_2 + C u_3 + A v_1 + B v_2 + C v_3 = A \left( u_1 + v_1 \right) + B \left( u_2 + v_2 \right) + C \left( u_3 + v_3 \right) $$

Az összeg is teljesen ugyanúgy transzformálódik, mint a többi koordináta. Ez azt jelenti, hogy bármilyen koordináta-rendszerben össze lehet adni vektorokat egyszerűen úgy, hogy a megfelelő koordinátákat összeadjuk. Én csak az első koordinátákat adtam össze így, de a többi koordináta is ugyanígy kijön, mert hasonló a matematikai kifejezés.

Vektorok kivonása

Az összeadás ellentéte a kivonás. Ezt nyilakkal úgy lehet leképzelni, hogy összekötjük az azonos pontból eredő két nyíl hegyét. Ez lesz az eredmény vonala. A hegye pedig az első tag felé mutat. Rajzon:

Vektor kivonás

Vektorok kivonása. Ezt úgy kell csinálni, hogy egy pontba toljuk a két vektor elejét, és összekötjük a 2 vektor hegyét. A nyíl hegye a baloldali tag oldalán lesz.

Látható, hogy itt már a sorrend számít. Mert az első tag dönti el, hogy merre lesz az eredmény vektor hegye.

Koordinátákkal pedig úgy képzelhető el a kivonás, hogy az egyes koordinátákat kivonjuk egymásból. Tehát az előző részben lévő vektorokkal élve, a kivonás után az eredmény koordinátái rendre $u_1 - v_1$, $u_2 - v_2$, $u_3 - v_3$ lesznek. (Házi feladat: kockás lapon kipróbálni, hogy tényleg így működik.)

És ez így van-e minden koordináta-rendszerben? Próbáljuk ki!

$$ u_1' - v_1' = A u_1 + B u_2 + C u_3 - \left( A v_1 + B v_2 + C v_3 \right) \\ = A u_1 + B u_2 + C u_3 - A v_1 - B v_2 - C v_3 \\ = A \left( u_1 - v_1 \right) + B \left( u_2 - v_2 \right) + C \left( u_3 - v_3 \right) $$

És bizony ugyanúgy transzformálódnak a kivont koordináták is, mint a rendes vektorok koordinátái. Tehát a kivonás is működik bármilyen koordináta-rendszerben.

Szorzás skalárral

Ez az a művelet, amikor a vektort megszorozzuk egy számmal. Ezt azt jelenti, hogy a vektornak a hosszát változtatjuk meg az irányát nem. Példát lásd a rajzon.

Vektorok számmal való szorzása

A számmal való szorzás megnöveli a vektor hosszát.

Ez a számmal való szorzás a hagyományos szorzáshoz hasonlóan disztributív az összeadással, azaz $k \left( \v u + \v v \right) = k \v u + k \v v$. Ezt lehet rajzon is demonstrálni, hogy mindegy, hogy először összeadjuk aztán szorozzuk vagy, hogy először szorozzuk őket és aztán adjuk össze, ugyanaz lesz az eredmény:

Vektorok számmal való szorzásának diszributivitása

A számmal való szorzás disztributív.

Szintén disztributív a számok oldaláról is: $(k + l)\v v = k \v v + l \v v$. Egy vektort megszorozni 5-tel olyan, mint megszorozni 3-mal majd 2-vel és a 2 eredményt összeadni:

Vektorok számmal való szorzásának diszributivitása (szám oldalon)

A számmal való szorzás disztributív a számoldalon is.

A vektor hosszával kapcsolatban pedig van egy olyan azonosság, hogy: $\left| k \v v\right| = k \left| \v v\right|$. Az mindegy, hogy először megtöbbszörözöd a vektort és aztán méred le a hosszát, vagy először leméred a hosszát és azt többszörözöd, ugyanazt kapod.

Koordinátákkal ez a dolog úgy néz ki, hogy a vektor minden koordinátáját beszorozzuk egy számmal. Tehát ha a számunk mondjuk $k$, és az $\v u$ vektort szorozzuk meg vele, akkor A szorzat koordinátái rendre $ku_1$, $ku_2$, $ku_3$ lesznek.

Nézzük meg, hogy ezek a dolgok függetlenek-e a koordináta-rendszertől:

$$ k u_1' = k \left( A u_1 + B u_2 + C u_3 \right) = A k u_1 + B k u_2 + C k u_3 $$

És valóban a művelet után a koordináták ugyanúgy transzformálódnak, bármilyen más koordináta. Tehát a számmal való szorzást bármilyen koordináta-rendszerben ugyanúgy lehet elvégezni.

Vektorok szorzása

Eddig minden szép és jó volt, de most nézzünk egy olyan esetet, amikor nem ilyen jó a dolog. Korábban mondtam olyat, hogyha a vektorokkal műveletet végzünk, akkor az olyan, hogy az összes tagjával elvégezzük ugyanazt a műveletet. Ezek szerint a szorzás úgy nézne ki, hogy a szorzás eredményeként kapott vektor koordinátái rendre $u_1 v_1$, $u_2 v_2$, $u_3 v_3$,

De más koordináta-rendszerben hogy fog kinézni ez?

$$ u_1' v_1' = \left( A u_1 + B u_2 + C u_3 \right) \left( A v_1 + B v_2 + C v_3 \right) = \\ A^2 u_1 v_1 + B^2 u_2 v_2 + C^2 u_3 v_3 + A B \left( u_1 v_2 + u_2 v_1\right) + A C \left( u_1 v_3 + u_3 v_1 \right) + B C \left( u_2 v_3 + u_3 v_2 \right) $$

Ezt akárhogy is csűrjük-csavarjuk, a várt $A u_1 v_1 + B u_2 v_2 + C u_3 v_3$ kifejezés nem állítható elő. Ez azt is jelenti, hogy vektorokat így nem lehet összeszorozni. De lehet őket máshogy...

Vektorok belső szorzata

Két vektor belső szorzatát úgy képezzük, hogy azonos pontból indítjuk őket, majd az egyiket merőlegesen rávetítjük a másikra, majd ezt a vetített hosszt megszorozzuk a másik vektor hosszával. Így:

Vektorok belső szorzata

Az egyik vektor a másikra vetítjük, és összeszorozzuk a vetíttet hosszt a másik vektor hosszával. Ez a két vektor belső szorzata.

Tehát ez egy olyan művelet, amely 2 vektorból csinál egyetlen számot.

A vektor vetített hossza és a vetítendő vektor hossza közötti összefüggés a két vektor által által bezárt szögtől függ. A fenti ábrán van egy derékszögű háromszög, és azt tudjuk, hogy a szög melletti befogó és az átfogó hányadosa az adott szög koszinusza. Itt az átfogó a vetítendő vektor, a szög melletti befogó pedig a vetített hossz. A koszinusz a kettejük aránya, ha ezt beszorozzuk az átfogó hosszával, akkor megkapjuk a vetített hosszt. Tehát a fenti példa alapján a $\v v$ vetített hossza $\left| \v v \right| \mathrm{cos}\,\alpha$ lesz. És ezt beszorozzuk a másik vektor hosszával, akkor megkapjuk az eredményt, az $\left| \v u\right| \left| \v v\right| \mathrm{cos}\,\alpha$.

Jelölni ponttal szoktuk a belső szorzatot pl. $\v u \cdot \v v$. És ezt a pontot mindig ki kell tenni.

Fontos észrevenni, hogy a dolog fordítva is működik. Vetíthetjük az $\v u$ vektort is a $\v v$-re. Az $\v u$ vetített hossza $\left| \v u \right| \mathrm{cos}\,\alpha$ lesz. Azt pedig beszorozva a $\v v$ hosszával ugyanazt a szorzatot kapjuk. Tehát ez azt jelenti, hogy a belső szorzat kommutatív. Tehát felcserélhető, azaz $\v u \cdot \v v = \v v \cdot \v u$.

Szintén van olyan tulajdonsága, hogy a skalárral való szorzással keverhető. Tehát, ha $k$ és $l$ valós számok, akkor: $(k \v u) \cdot (l \v v) = kl (\v u \cdot \v v)$. Ez a hossz számításakor a szorzószám kiemelhetőségéből jön: $|k \v u| |l \v v| \mathrm{cos}\,\alpha = k l |\v u| |\v v| \mathrm{cos}\,\alpha$.

A belső szorzat disztributív. Tehát 3 tetszőleges vektor esetén: $\v w \cdot \left( \v u + \v v\right) = \v w \cdot \v u + \v w \cdot \v v$. Ezt be lehet látni a következő ábra alapján:

Belső szorzat disztributivitása

Látható, hogy az összegzés esetén a vetített hosszak is egymás folytatásába vetülnek, így összeadódnak.

Látható, hogy az összegvektor vetülete hogyan tevődik össze. Látható, hogy az egyik vektor merőleges vetületének a folytatásában kezdődik a másiknak a merőleges vetülete (mindig). Azaz a két vetület hossza összeadódik. Tehát az $\v u + \v v$ vektor vetülete $u_w + v_w$, ahogy az ábrán is látszik. A vetület szorozva a $\v w$ hosszával: $|\v w| (u_w + v_w)$. Ez pedig a számoknál jól ismert disztributivitás miatt szétszedhető így: $|\v w| u_w + |\v w| v_w$. Ennek összegnek pedig a két tagját érdemes megnézni. Az első tag azt mondja, hogy a $\v w$ hosszát beszorozzuk az $u$ merőleges vetületének a hosszával, ami definíció szerint a $\v w \cdot \v u$. A másik tag ugyanez. Az már $\v w \cdot \v v$. Tehát innét jön, hogy disztributív a belsőszorzat.

Nézzük tovább ennek a szorzatnak a tulajdonságait:

Ez a fajta szorzat a fizikában és még sok helyen előkerül. Az első példa a munka. A 3. részben már volt szó arról, hogy a munka az erő és az erő irányában tett elmozdulás szorzata. Az „irányában tett ... szorzata” nem jelent mást, mint a belső szorzatot. A munka valójában az erővektor és az elmozdulásvektor belső szorzata:

$$ W = \v F \cdot \v s $$

Vagy ott van a mozgási energia, amelyben a sebesség négyzetre emelve szerepel. Ez se más, mint a sebesség önmagával alkotott belső szorzata. Hiszen egy irányba mutató vektorok esetén a hosszat kell összeszorozni:

$$ \frac{1}{2}m \left| \v v \right|^2 = \frac{1}{2}m \left( \v v \cdot \v v\right) $$

Egy vektor négyzete az önmagával alkotott belső szorzata, amely egyben a saját hosszának a négyzete is:

$$ \v v^2 = \v v \cdot \v v = \left| \v v \right|^2 $$

Na és mi a helyzet a koordinátákkal? Egyelőre ne siessünk előre, mert ez kicsit trükkös. Nevezetesen azért, mert itt már a koordinátákkal nem is kell foglalkozni, akár el is felejthetjük már őket. De...

Tulajdonképpen mi is a koordináta-rendszer? 3 tengely van benne. És ez a 3 tengely tulajdonképpen 3 vektor. Ennek a vektornak az iránya a tengely iránya, a hossza pedig az 1 egység azon a tengelyen. Tehát ha egy vektor 3 koordinátája (3; 4; 5), akkor az azt jelenti, hogy az 1. tengely mentén kell menni 3-at. Majd innen a 2. tengely mentén 4-et. Majd onnan a 3. tengely mentén 5-öt. És ott lesz a vektor nyilának a hegye, míg az eleje az origóban van.

Na most a „megyünk valami irányában valamennyi egységet” megfelel a skalárral való szorzásnak. A „majd innen megyünk tovább” pedig a vektorok összeadásának. Na most legyen a 3 tengely vektora rendre $\v i$, $\v j$ és $\v k$ (ez a szokásos jelölésük). Ekkor ez előbb említett példában a vektor nem lesz más, mint $3\v i + 4\v j + 5\v k$.

Továbbá ezt a 3 vektort úgy választottuk meg, hogy merőlegesek legyenek egymásra. A merőlegesség miatt pedig:

$$ \v i \cdot \v j = \v i \cdot \v k = \v j \cdot \v k = 0 $$

A hosszukat pedig 1-nek választottuk, az 1 négyzete pedig 1, így pedig:

$$ \v{i}^2 = \v{j}^2 = \v{k}^2 = 1 $$

Na most akkor így mennyi is egy tetszőleges (a, b, c) és egy tetszőleges (d, e, f) koordinátákkal (ezek a betűk legyenek valós számok) megadott vektor belső szorzata? Ennyi:

$$ (a\v i + b\v j + c\v k) \cdot (d\v i + e \v j + f \v k) = \\ ad\v{i^2} + be\v{j^2} + cf\v{j^2} + (ae + bd)(\v i \cdot \v j) + (af + cd)(\v i \cdot \v k) + (bf + ce)(\v j \cdot \v k) \label{eq:dot product} $$

Mivel a különböző tengelyek merőlegesek egymásra, így azok a belső szorzatok kiesnek, az önmagával alkotott szorzatok pedig 1-ek, így marad:

$$ ad + be + cf $$

Magyarán összeszorozzuk az egyik első koordinátáját a másik első koordinátájával. A másodikat a másik másodikával. A harmadikat a másik harmadikával, és a végén az egészet összeadjuk. (Házi feladat: kockás lapra felrajzolni 2 merőleges vektort, és kiszámolni, koordinátákkal, hogy a belső szorzatuk valóban nulla)

És innét jön az, hogy az $u_1$, $u_2$ és $u_3$ koordinátákkal megadott vektor hossza miért annyi, amennyi. Az önmagával alkotott belső szorzata $u_1^2 + u_2^2 + u_3^2$, tehát ez lesz a hosszának a négyzete. Amiből gyököt vonva megkapjuk a hosszt.

De ez csak akkor működik, hogyha a koordináta-rendszerben a tengelyek merőlegesek egymásra és az egység azonosan 1. Az általánosságban ez nem igaz, ahol nem merőlegesek vagy nem egység-hosszúak a koordináta-rendszer vektorai, ott az összes taggal számolni kell. Amit a fenti $\eqref{eq:dot product}$ egyenletben kaptunk.

A koordinátákkal kifejezett belső szorzat nagyon hasznos, amikor számítógépes grafikával vagy játékfejlesztéssel dolgozik az ember. Ugyanis könnyen ki lehet a segítségével számolni, hogy a 2 vektor között bezárt szög mekkora, vagy hogy 2 tárgy egymás felé halad-e vagy sem. Vagy pl. egy tárgyról a fényvisszaverődést lehet kiszámolni vele. Emiatt a belső szorzat nagyon hasznos.

Persze ez itt még nem a teljes kép. Van tovább is. Majd később lesz szó a dolog általánosításáról, illetve majd előkerül a keresztszorzat is.

Általánosítás sok dimenzióra

A koordináták azért kellenek, hogy valahogy tudjunk digitálisan (azaz számokkal) számolni vektorokkal. Viszont egy fontos, érdekes részletet kihagytunk. Ez pedig a koordináták száma. Miért pont 3? Miért nem 4 vagy 5, vagy netán 2?

Azt nem tudjuk pontosan, hogy miért pont 3 dimenziós a tér. De az előbb a vektorokról írt műveletek tökéletesen működnek akárhány dimenzióval és akárhány koordinátával. Hogy nézne ki a vektorok összeadása és kivonása pl. 4 dimenzióban? Elképzelni nem tudjuk ugyan, de az biztos, hogy ott is ugyanúgy össze kell adni, és ki kell vonni mind a 4 koordinátát. A skalárral (számmal) való szorzat is ugyanúgy működik: szorozd meg az összes koordinátát és kész.

Belső szorzat is ugyanúgy működik: szorozd össze páronként mind a 4 koordinátát, majd add össze és megkapod az eredményt. És ebben az egészben az a jó, hogy úgy is meg lehet állapítani, hogy 2 négydimenziós vektor merőleges-e egymásra (vagy hogy milyen szöget zár be), hogy el tudnánk egyáltalán képzelni azt a 4 dimenziós teret. Persze továbbra is ez csak akkor működik, hogyha mind a 4 koordináta-tengely merőleges egymásra, és 1 egység hosszú...

Nemrég frissült:

A tartalom elérhető az IPFS-en! Ha tetszik töltsd le és seedeld! Az oldal elérhető a http://gateway.ipfs.io/ipns/calmarius.net/index.htm helyen is.

comments powered by Disqus
Logo